《高等数学》教学大纲（A类）

     Advanced   Mathematics

          2009年10修订

一、课程的适用专业、学时及学分

本课程的适用专业为：物理学专业、计算机科学与技术专业、电子信息工程专业、建筑学专业、化学专业，152学时，10学分。

二、课程的性质、目的和任务

     《高等数学》课程是理工类高等院校非数学专业学生必修的一门重要基础理论课，是培养造就高层次专门人才所需数学素质的基本课程。

    通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题尤其是运用数学知识解决来自实际中问题的能力。

  三、与其它课程的联系

    本课程是理、工、管等相关专业的第一基础课。本课程的学习情况事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。本课程学习结束后，以此为出发点，学生才能进入相关课程的学习阶段。

    本课程是四年大学学习开始必须学好的基础理论课。

    课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学考试统考科目，关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系到学校的整体教学水平。

四、课程的基本内容、重点及难点

本课程的研究对象是函数（变化过程中量的依赖关系）。内容包括函数、极限、连续，一元函数微积分学，向量代数与空间解析几何学，多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数（含Fourier级数）与常微分方程等。

基本了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题，教学内容的选择应努力贯彻少而精的原则，在教学中，应注意由浅入深，避免不必要的重复，在基本运算方面，例如求极限、求导数与微分、求不定积分与定积分、曲线方程与曲面方程等，应通过例题及习题，使学生受到足够的训练，掌握有关方法。

大纲中要求课本中带有“*”号的章节根据教师的需要可斟酌情况，决定取舍。

一、极限与连续

基本要求：

1．理解极限的概念，了解极限的 等极限语言的含意，理解函数左，右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系，会利用极限定义证明某些简单的极限。

2．掌握极限的性质及四则运算法则。

3．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握用两个重要极限求极限的方法，知道Cauchy收敛准则。

4．理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小替换求极限。

5．理解函数在一点处连续和间断的概念，知道函数的一致连续性概念。

6．了解初等函数的连续性，掌握讨论连续性的方法，会判别间断点的类型。

7．了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理，最值定理和介值定理），会用介值定理讨论方程根的存在性。

重点：

根限概念，无穷小量，极限的四则运算，函数的连续性。

难点

极限的定义，函数的一致连续性概念。

二、一元函数微分学

基本要求：

1．理解导数和微分的概念及其几何意义，了解函数的可导性和连续性的关系，会平面曲线的切线方程和法线方程，会用导数描述一些简单的物理量。

2．熟练掌握导数与微分的运算法则及导数的基本公式，了解一阶微分形式的不变性。

3．熟练掌握初等函数的一阶、二阶导数的计算，会求分段函数的导数，会计算常用简单函数的n阶导数。

4．会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。

5．理解并会用Rolle定理，Lagange中值定量，了解并会用Cauchy 中值定理。

6．理解函数的极值概念，熟练掌握利用导数求函数的极值，判断函数的增减性、凸性、求曲线的拐点及函数作图（包括求渐近线）的方法，会解决应用题中简单的最大值和最小值问题。

7．熟练掌握利用洛必达法则求未定式极限的方法。

8．理解并会用Taylor定理，掌握 的Maclau-rin公式。

9．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

10．知道求方程近似根的二分法和切线法。

重点

1．导数、微分的概念，导数的几何意义，初等函数导数的求法。

2．Lagrange中的值定理、Tanylor公式、洛必达法则，函数增减性的判定，函数的根值及其求法，最值问题。

难点

Lagrange中值定理，Taylor公式。

三、一元函数积分学

基本要求：

1．理解原函数、不定积分和定积分的概念及性质。

2．熟练掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法。

3．会求简单有理函数、简单的三角函数有理式及简单无理函数的积分。

4．理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握Newton-Leibniz 公式。

5．熟练掌握用微元法建立一些常见的几何量和物理量的定积分表达式，从而求出这些量的方法。

6．会用梯形法和和抛物线法求定积分的近似值。

7．理解两类反常积分的概念，会计算一些简单的反常积分，知道反常积分的审敛法（比较法和极限法）。

重点：

1．原函数、不定积分和定积分的概念，积分中值定理，基本积分公式。

2．不定积分和定积分的换元法和分部法，变上限的定积分作为上限的函数及其求导定理，Newton-Leibniz公式。

3．微元法。

难点：

定积分概念，变上限的定积分作为上限的函数及其求导定理，微元法。

四、向量代数与空间解析几何

基本要求：

1．理解向量的概念，熟练掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积）及两个向量夹角的求法，平行和垂直的条件，知道三向量共面的条件。

2．掌握单位向量、方向数、方向余弦及向量的坐标表达式，熟练地用坐标表达式进行向量运算。

3．熟悉平面和直线的标准方程，以及根据已知条件求平面和直线方程，掌握利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

4．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的标准方程及其图形，知道用截痕法讨论曲面的方法。

5．掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6．了解空间曲线的一般式方程与参数式方程，了解空间曲线在坐标面上的投影，并坐求其方程。

重点：

向量的概念，向量的坐标表达式及向量的运算，平面的点法式方程，直线的点向式方程，曲面方程的概念，空间曲线的一般式方程和参数式方程。

五、多元函数微分学

基本要求：

1．理解点集、邻域、区域及多元函数的概念。

2．了解二元函数的极限和连续的概念，知道有界闭区域上连续函数的性质。

3．理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的充分的条件和必要条件，理解方向导数和梯度的概念。

4．熟练掌握复合函数和隐函数的求导法则，掌握求高阶偏导数的方法，掌握方向导数和梯度的求法。

5．知道二元函数的Taylor公式。

6．掌握空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的求法。

7．理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用Lagrange乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

重点：

多元函数的概念，偏导数和全微分的概念，偏导数的计算，Lagrange乘数法。

难点：

多元函数的极限概念，复合函数的高阶偏导数，二元Taylor公式。

六、多元函数积分学

基本要求：

1．理解二重积分、三重积分、两类曲线积分及两类曲面积分的概念和性质。

2．熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）和三重积分的计算法（直角坐标、柱面坐标和球面坐标）。

3．知道重积分的一般换元法则，会用一般换元法则计算一些简单的二重积分和三重积分。

4．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算法。

5．掌握Green公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

6．掌握Gauss 公式并会利用它计算曲面积分，了解Stokes公式，并能利用它计算某些曲线积分。

7．会用重积分、曲线积分及曲面积分解决一些几何与物理问题。

8．知道散度，旋转的概念，并会计算。

重点：

二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的概念与计算方法，Green公式、Gauss公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

难点：

重积分化为累次积分时积分上、下限的确定，第二型曲面积分的概念与计算。

七、无穷级数

基本要求：

1．理解级数的收敛、发散及收敛级数的和的概念，掌握级数收敛的必要条件和收敛级数的基本性质。

2．掌握几何级数和p级数的收敛性。

3．掌握正项级数的比较审敛法和根值审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法。

4．掌握交错级数的Leibniz定理，并会估计通项单调递减的收敛的交错级数的截断误差。

5．理解无穷级数的绝对收敛和条件收敛的概念，知道任意项级数的审敛步骤。

6．理解函数项级数收敛域及和函数的概念，知道一致收敛概念和优级数判别法，知道一致收敛级数的性质。

7．熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求一些幂级数的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

8．了解函数展开为Taylor级数的充分必要条件。

9．熟练掌握 的Maclaurin展开式，会用间接法将一些简单函数展成幂级数，会用幂级数进行一些近似计算。

10．理解Fourier级数的概念，了解函数展开为Fourier级数的Dirichlet定理，会将定义在 上的函数展开为Fourier级数，会将定义在 上的函数展成正弦级数或余弦级数，知道Fourier级数的复数形式。

重点：

1．无穷级数收敛和发散的概念，正项级数的比较审敛法和比值审敛法。

2．幂级数的收敛半径和收敛域的求法，Taylor级数，函数的幂级数展开。

3．Fourier级数，函数展开为正弦或余弦级数。

难点：

  正项级数的比较审敛法，条件收敛级数的判定，级数求和，函数项级数一致收敛的概念，用间接法将函数展为Taylor级数。

八、常微分方程

基本要求

1．理解微分方程的解、通解、初始条件和特解等基本概念。

2．熟练掌握一阶变量可分离方程和线性方程的识别和解法。

3．掌握一阶齐次方程和Bernoulli方程的识别和解法，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4．会识别及解全微分方程。

5．掌握用降阶法求解 型的方程。

6．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

7．熟练掌握二阶常系数线性齐次及非齐次方程（其中自由项 是 的和与积所组成）的解法，知道高阶常系数线性齐次方程的解法。

8．了解用常数变易法解二阶常系数线性微分方程的思想。

9．掌握Euler方程及其解法。

10．了解微分方程的幂级数解法。

11．会用微分方程或方程组解决一些简单的应用问题。

12．知道简单的常系数线性微分方程组的解法。

重点

微分方程的概念、通解、特解，变量可分离方程与一阶线性方程的解法，线性微分方程解的结构，二阶常系数线性方程的解法。

五、学时分配表

六、教材与教学参考书

1.    《高等数学》方明亮、郭正光主编，广东科技出版社，2008.8

2.    菲赫金哥尔茨. 微积分学教程. 第8版. 北京：高等教育出版社. 2006.

3.    华东师范大学数学系. 数学分析. 第2版. 北京：高等教育出版社. 1991.

4.    吉米多维奇. 数学分析习题集. 第1版. 北京：人民教育出版社. 1958.

5.    同济大学应用数学系. 高等数学. 第5版. 北京：高等教育出版社. 2002.

6.    李心灿等. 第1版. 高等数学应用205例. 北京：高等教育出版社. 1997.

7.    韩松. 高等数学习题集. 第1版. 北京：科学技术文献出版社. 1999.

8.    肖亚兰. 高等数学中的典型问题与解法. 第2版. 上海：同济大学出版社. 2003.

9.    邵剑等. 大学数学考研专题复习. 第1版. 科学出版社. 2001.

10.李正元等. 数学历年试题解析（数学一）. 第1版. 北京：国家行政学院出版社. 2004.

11.陈文灯等. 数学题型集粹与练习题集. 第1版. 北京：世界图书出版公司. 2002.

12.龚冬宝等. 高等数学典型题. 第3版. 西安：西安交通大学出版社. 2004.

13.罗卫民. 高等数学分级辅导. 第1版. 西安：陕西科学技术出版社. 2004.

七  本课程的教学方式及执行大纲时应注意的问题

    本课程的特点是理论性强，思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到学习微积分的必要性。注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导参考）的有机联系, 特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。教学中有计划有目的地向学生介绍学习数学与学习专业课之间的关系，学习高等数学是获取进一步学习机会的关键学科。由于学科特点，本课程教学应突出教师的中心地位，通过教师的努力，充分调动学生的学习兴趣。

本大纲是根据国家教委高教司颁布的本科基础课教学基本要求，结合我校教学计划制定的。制定中过程中以各专业对数学知识需求为基础，兼顾物理、电子类专业、 计算机科学与技术专业 、    建筑学专业      。本大纲对课程内容划定了“理解”、“掌握”、“了解”、“会”等四方面内容，执行时应注意。课内外学时比为1：2。习题课是完成教学基本要求的一个重要的教学环节，习题课学时不应少于总学时的1/6，且以小班课为宜。在教学过程中，教师应根据学生的情况，按大纲要求，在每部分都要在复习指导书中为学生指明不同档次的课外自学内容。