《高等代数》考试大纲

（适用专业：数学与应用数学、应用统计学）

第一章  基本概念

一.主要内容

1、集合

     子集 集的相等 集合的交与并及其运算律 笛卡儿积

2、映射

     映射 满射 单射 双射 映射的相等 映射的合成 可逆映射 映射可逆的充要条件

3、数学归纳法

     自然数的最小数原理  第一数学归纳法  第二数学归纳法

4、整数的一些整除性质

5、数环和数域

二. 考试要求

（一）掌握

1、集合的交与并及其运算律

2、 映射 满射 单射 双射 映射的相等 映射的合成

3、数环和数域的定义及性质

4、数学归纳法的运用

（二）理解

1、集合的交与并及其运算律  

2、可逆映射 映射可逆的充要条件

3、数环和数域的判别

（三）了解

  自然数的最小数原理  第一数学归纳法、第二数学归纳法的证明整数的一些整除性质

第二章多项式

一. 主要内容

1、一元多项式的定义和运算

2、多项式的整除性

     整除的基本性质  带余除法定理

3、多项式的最大公因式

     最大公因式概念、性质 辗转相除法 多项式互素概念、性质

4、多项式的唯一因式分解定理

     不可约多项式概念 唯一因式分解定理 典型分解式

5、多项式的重因式

     多项式的重因式概念 多项式有重因式的充要条件

6、多项式函数与多项式的根

     多项式函数的概念 余式定理 综合除法 多项式的根的概念  根与一次因式的关系 多项式根的

        个数

7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）

8、有理数域上多项式的可约性及有理根

     本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法

     有理数域上多顶式的有理根

9、多元多项式

     多元多项式的概念 字典排列法 多元多项式的和与积的次数

10、对称多项式

     对称多项式的概念 初等对称多项式 对称多项式基本定理

二. 考试要求

（一）掌握

1、一元多项式的定义和运算  

2、整除的基本性质  带余除法定理  

3、最大公因式概念、性质 辗转相除法 多项式互素概念、性质  

4、唯一因式分解定理 典型分解式  

5、多项式的重因式概念 多项式有重因式的充要条件

6、余式定理 综合除法 多项式的根的概念  

7、复数域和实数域上多项式的因式分解有理数域上多顶式的有理根  

（二）理解

1、不可约多项式概念

2、多项式的重因式概念

3、多项式函数与多项式的根

4、多项式函数的概念

5、本原多项式的定义  Gauss引理

6、整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法

（三）了解

1、对称多项式的概念

2、多元多项式的概念

3、多元多项式的概念 字典排列法 初等对称多项式 对称多项式基本定理

三. 说明

 本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。

第三章 行列式

一. 主要内容

1、二阶和三阶行列式的结构

2、排列

     排列的概念 反序数及排列的奇偶性 对换及其对排列奇偶性的影响

3、n阶行列式的定义和性质

4、行列式依行依列展开

     余子式与代数余子式的概念 行列式依行依列展开 Vandermonde行列式

5、Cramer规则

6、Laplace定理

二. 考试要求

（一）掌握

1、排列的逆序数的求法

2、用对角线法则计算 2阶和3阶行列式

3、行列式依行依列展开公式，Vandermonde行列式

4、运用行列式的性质以及降阶和三角化的方法，熟练地计算行列式

5、Cramer规则，用Cramer规则解线性方程组

（二）理解

1、排列、排列的逆序数及奇偶排列的概念

2、n阶行列式的定义和性质

3、余子式与代数余子式的概念及性质

4、用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性

（三）了解

1、对换及其对排列奇偶性的影响

2、Laplace定理

三.说明

     行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广，也是一种重要的数学工具。

第四章 线性方程组

一.主要内容

1、线线方程组的消元法

     线性方程组的初等变换 方程组的一般解和自由未知量 系数矩阵和增广矩阵

2、矩阵的秩

k阶子式 矩阵秩的定义 初等变换不改变矩阵的秩 用初等变换求矩阵的秩

3、线性方程组有解的判别法

     线性方程组有解判别定理及解的个数定理

4、线性方程组的公式解

     线性方程组的公式解  齐次线性方程组及其非零解的概念 齐次线性方程组有非零解的充要条件

5、结式和判别式

  结式  判别式 二元高次方程组的解法

二. 考试要求

（一）掌握

1、线性方程组的初等变换 方程组的一般解和自由未知量 系数矩阵和增广矩阵

2、k阶子式 矩阵秩的定义 初等变换不改变矩阵的秩 用初等变换求矩阵的秩

3、线性方程组有解判别定理及解的个数定理

4、用矩阵的初等变换求解线性方程组

（二）理解

  线性方程组的公式解 齐次线性方程组及其非零解的概念  齐次线性方程组有非零解的充要条件

（三）了解

  结式 判别式 二元高次方程组的解法

三. 说明

 本章在理论上解决了线性方程组有解的判定，解的个数及求法，对中学数学有直接的指导意义。此外，它在本课程及数学的其它分支、生产实践及其它学科都有广泛应用。

第五章矩阵

一. 主要内容

1、矩阵的运算

     矩阵的加法、数乘、乘法和转置单位矩阵

2、逆矩阵

     可逆矩阵及逆矩阵的概念可逆矩阵的性质求逆矩阵的公式

3、初等矩阵

     初等矩阵与初等变换的关系可逆矩阵的判定用初等变换求逆矩阵

4、矩阵乘积的行列式与秩

5、矩阵的分块 矩阵的分块分块矩阵的加法、数乘及乘法对角线分块矩阵

二 .考试要求

（一）掌握

1、矩阵的加法乘法、数乘、转置等运算及其基本性质熟练地对矩阵进行运算

2、可逆矩阵及逆矩阵的概念与性质可逆矩阵的判定求逆矩阵的公式；

3、初等矩阵与初等变换的关系用初等变换求逆矩阵

4、矩阵的秩的求法

5、几类特殊分块矩阵的运算及性质

（二）理解

1、矩阵的概念矩阵的秩的定义分块矩阵的概念

2、矩阵乘积的行列式与秩

（三）了解

1、了解一些特殊矩阵及其性质

2、了解分块矩阵运算的目的及方法

三 .说明

 矩阵是线性代数的一个主要研究对象，它是数学及其它学科的一个重要工具。本章主要介绍矩阵的运算及其基本性质。

第六章 向量空间

一. 主要内容

1、向量空间的定义、例子及简单性质。

2、子空间

     子空间的定义及充要条件子空间的交与和

3、向量组的线性相关性

     线性相关线性无关替换定理及其推论等价的向量组及其性质，极大无关组及其性质。

4、基和维数

     生成子空间基和维数的定义基的性质维数公式

5、子空间的直和

     直和的定义及充要条件。

6、坐标

     坐标的定义过渡矩阵基变换公式坐标变换公式

7、向量空间的同构

     同构映射的定义与性质向量空间同构的定义与充要条件

8、齐次线性方程组的解空间

     矩阵的行（列）空间齐次线性方程组的基础解系

9、非齐次线性方程组解的结构。

二. 考试要求

（一）掌握

1、向量空间的定义、例子及简单性质。

2、线性相关线性无关  替换定理及其推论 等价的向量组及其性质，极大无关组及其性质。

3、生成子空间 基和维数的定义 基的性质 维数公式

4、坐标的定义 过渡矩阵 基变换公式 坐标变换公式

5、齐次线性方程组的基础解系

6、非齐次线性方程组解的结构。

（二）理解

1 、子空间的定义及充要条件子空间的交与和

2、直和的定义及充要条件。

3、同构映射的定义与性质向量空间同构的定义与充要条件

三. 说明

 向量空间的理论是线性代数的主要内容，它在自然科学和工程技术的许多领域中有着广泛的应用。本章主要介绍向量空间的概念与性质。

第七章线性变换

一 .主要内容

1、线性变换的定义及其简单性质

2、线性变换的象与核

    线性变换的象与核的定义及其基与维数的求法

3、线性变换的运算

    线性变换的加法、数乘与乘法，可逆线性变换及其逆变换

4、线性变换和矩阵

    线性变换的矩阵向量的象的坐标公式线性变换与矩阵的同构对应

5、矩阵的相似

    定义同一线性变换关于不同基的矩阵之间的关系

6、不变子空间

7、特征根、特征向量、特征多项式

    特征根、特征向量及特征子空间的定义、求法矩阵的迹和行列式同特征根的关系相似矩阵的特征

    多项式

8、可对角化的矩阵

二 .考试要求

（一）掌握

1、线性变换的矩阵、向量的象的坐标公式、线性变换的矩阵表示法的关系对应

2、同一线性变换关于不同基的矩阵之间的关系

3、特征根、特征向量的定义、相似矩阵的特征多项式的定义及求法

4、矩阵可对角化的条件及对角化的方法

（二）理解

1、线性变换的定义及其简单性质

2、线性变换的加法、数乘与乘法，可逆线性变换及其逆变换

3、线性变换的象与核的定义及其基与维数的求法

4、不变子空间的概念

（三）了解

 属于不同特征根的特征向量的线性无关性，特征子空间的维数与所属特征根的重数之间的关系，线性变换对角化和矩阵可对角化的关系

三 .说明

 线性变换是向量空间中最简单而又最基本的变换。它是线性代数的主要研究对象之一，对于研讨向量空间中向量之间的内在联系及向量空间的结构起着重要的作用。本章主要介绍线性变换的运算、性质、线性变换与矩阵的关系及矩阵的相似与化简。

第八章 欧氏空间

一. 主要内容

1、欧氏空间的定义及基本性质

2、Cauchy—Schwarz不等式向量的长度及两个向量的夹角

3、正交基标准正交基和正交化方法

4、向量与子空间的正交正交补向量到子空间的距离

5、同构的定义和同构的充要条件

6、正交变换与正交矩阵

  正交变换与正交矩阵的关系一个线性变换是正交变换 的充要条件

7、对称变换与实对称矩阵

  对称变换的定义对称变换与实对称矩阵的关系对称矩阵的标准形

8、酉空间

9、酉变换和对称变换

二. 考试要求

（一）掌握

1、正交基标准正交基和正交化方法

2、正交变换与正交矩阵的关系、一个线性变换是正交变换的充要条件

3、对称变换的定义对称变换与实对称矩阵的关系

4、求实对称矩阵的标准形的方法

（二）理解

1、欧氏空间的定义及基本性质

2、Cauchy—Schwarz不等式向量的长度及两个向量的夹角

3、向量与子空间的正交正交补向量到子空间的距离

4、同构的定义和同构的充要条件

（三）了解

1、酉空间的定义

2、酉变换和对称变换

三. 说明

 欧氏空间是实数域上带有一个内积的向量空间，是通常几何空间的推广。本章主要介绍欧氏空间的概念，标准正交基和正交变换。

第九章二次型

一. 主要内容

1、二次型的矩阵表示

     二次型的定义变量的非退化线性变换二次型的秩二次型的化简与对称矩阵的合同

2、标准形

3、复数域和实数域上二次型的标准形的唯一性惯性定理

4、正定二次型的定义及充要条件

    正定二次型的定义正定矩阵正定二次型的充要条件

二 .考试要求

（一）掌握

1. 二次型的概念及二次型与对称矩阵的一一对应关系

2. 矩阵的合同概念及其性质

3. 正定二次型的概念和判别法

4. 化二次型为标准形的方法

（二）理解

1. 二次型的标准形和概念

2. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性

三. 说明

 二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类，是中学有关内容的深入和提高，也是线性代数的一个主要研究对象。本章主要介绍化二次型为标准形和正定二次型的判别。

                               所属院系（部）:数学与大数据学院数学与应用数学系

2016年12月30日