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一、大纲说明 课程名称: 高等代数 课程名称（英文）：Advanced Algebra 适用专业：数学与应用数学 课程性质： 学科教育必修课程 总学时： 192其中 理论课学时: 192 实践（实验）课学时:0 学分：12 先修课程： 二、本课程的地位、性质和任务 《高等代数》是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考硕士研究生的必考课程之一。通过本课程的学习，使学生掌握多项式和线性代数的系统知识和理论，提高学生抽象思维、逻辑推理和运算能力，培养学生运用抽象的、严格的代数思想方法分析问题、解决问题的能力，为常微分方程、近世代数、计算方法、泛函分析等后续课程的学习打下坚实的基础。 三、教学内容、教学要求 第一章 基本概念 教学内容 本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。 1、 集合 子集 集合的相等 集合的交与并及其运算律 笛卡儿积 2、 映射 映射 满射 单射 双射 映射的相等 映射的合成 可逆映射 映射可逆的充要条件 3、 数学归纳法 自然数的最小数原理 第一数学归纳法 第二数学归纳法 4、 整数的一些整除性质 5、 数环和数域 教学要求 了解：整数的一些整除性质 理解：集合 掌握：映射； 数学归纳法； 数环和数域 重点与难点 映射； 可逆映射； 数域。 第二章 多项式 本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。 教学内容 1、一元多项式的定义和运算 2、多项式的整除性 整除的基本性质 带余除法定理 3、多项式的最大公因式 最大公因式概念、性质 辗转相除法 多项式互素概念、性质 4、多项式的唯一因式分解定理 不可约多项式概念 唯一因式分解定理 典型分解式 5、多项式的重因式 多项式的重因式概念 多项式有重因式的充要条件 6、多项式函数与多项式的根 多项式函数的概念 余式定理 综合除法 多项式的根的概念 根与一次因式的关系 多项式根的个数 7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明） 8、有理数域上多项式的可约性及有理根 本原多项式的定义Gauss引理 整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法 有理数域上多顶式的有理根 ※9、多元多项式 多元多项式的概念 字典排列法 多元多项式的和与积的次数 ※10、对称多项式 对称多项式的概念 初等对称多项式 对称多项式基本定理 教学要求 了解： 多元多项式 对称多项式 理解: 一元多项式的定义和运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解 掌握: 多项式的重因式；多项式的最大公因式； 复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根 重点与难点 整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的应用、k重因式与k重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。 第三章 行列式 行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广，也 是一种重要的数学工具。 教学内容 1、二阶和三阶行列式的结构 2、排列 排列的概念 反序数及排列的奇偶性 对换及其对排列奇偶性的影响 3、n阶行列式的定义和性质 4、行列式依行依列展开 余子式与代数余子式的概念 行列式依行依列展开Vandermonde行列式 5、Cramer规则 教学要求 了解：排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义；排列的奇偶性与对换的关系 理解：二阶和三阶行列式的结构；排列 掌握：n阶行列式的定义和性质；行列式依行依列展开；Cramer规则 重点与难点 n级行列式的定义；行列式的基本性质；行列式按一行（列）展开的公式；Cramer法则。 第四章 线性方程组 教学内容 本章在理论上解决了线性方程组有解的判定，解的个数及求法，对中学数学有直接的指导意义。此外，它在本课程及数学的其它分支、生产实践及其它学科都有广泛应用。 1、线线方程组的消元法 线性方程组的初等变换 方程组的一般解和自由未知量 系数矩阵和增广矩阵 2、矩阵的秩 k阶子式 矩阵秩的定义 初等变换不改变矩阵的秩 用初等变换求矩阵的秩 3、线性方程组有解的判别法 线性方程组有解判别定理及解的个数定理 4、线性方程组的公式解 线性方程组的公式解 齐次线性方程组及其非零解的概念 齐次线性方程组有非零解的充要条件 教学要求 了解：线性方程组的公式解 理解：线线方程组的消元法 掌握：矩阵的秩；线性方程组有解的判别法 重点与难点 矩阵的秩的概念及求法； 线性方程组有解的判别及求解。 第五章 矩阵 教学内容 矩阵是线性代数的一个主要研究对象，它是数学及其它学科的一个重要工具。本章主要介绍矩阵的运算及其基本性质。 1、矩阵的运算 矩阵的加法 数乘 乘法和转置 单位矩阵 2、逆矩阵 可逆矩阵及逆矩阵的概念 可逆矩阵的性质 求逆矩阵的公式 3、初等矩阵 初等矩阵与初等变换的关系 可逆矩阵的判定 用初等变换求逆矩阵 4、矩阵乘积的行列式与秩 5、矩阵的分块 矩阵的分块分块矩阵的加法、数乘及乘法对角线分块矩阵 教学要求 了解：矩阵的分块 理解：矩阵的运算 掌握：逆矩阵；初等矩阵；矩阵乘积的行列式与秩 重点与难点 矩阵的运算；矩阵乘积的行列式定理；矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系；可逆矩阵；；伴随矩阵；n阶方阵可逆的充要条件；用公式法求逆矩阵；分块矩阵的意义及运算；初等矩阵；用初等变换的方法求逆矩阵；分块矩阵的逆。 第六章 向量空间 教学内容 向量空间的理论是线性代数的主要内容，它在自然科学和工程技术的许多领域中有着广泛的应用。本章主要介绍向量空间的概念与性质。 1、向量空间的定义、例子及简单性质 2、子空间 子空间的定义及充要条件 子空间的交与和 3、向量组的线性相关性 线性相关 线性无关 替换定理及其推论 等价的向量组及其性质 极大无关组及其性质 4、基和维数 生成子空间 基和维数的定义 基的性质 维数公式 5、子空间的直和 直和的定义及充要条件。 6、坐标 坐标的定义 过渡矩阵 基变换公式 坐标变换公式 7、向量空间的同构 同构映射的定义与性质 向量空间同构的定义与充要条件 8、齐次线性方程组的解空间 矩阵的行（列）空间 齐次线性方程组的基础解系 9、非齐次线性方程组解的结构。 教学要求 了解：向量空间的同构 理解：向量空间的定义、例子及简单性质；子空间； 掌握：基和维数基和维数；坐标；子空间的直和；向量空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件：齐次线性方程组的解空间；非齐次线性方程组解的结构 重点与难点 向量的线性相关性；基与维数的求法；过渡矩阵；直和的充要条件；两个有限维空间同构的充要条件；齐次线性方程组的基础解系；线性方程组解的结构。 第七章 线性变换 教学内容 线性变换是向量空间中最简单而又最基本的变换。它是线性代数的主要研究对象之一，对于研讨向量空间中向量之间的内在联系及向量空间的结构起着重要的作用。本章主要介绍线性变换的运算、性质、线性变换与矩阵的关系及矩阵的相似与化简。 1、线性变换的定义及其简单性质 2、线性变换的象与核 线性变换的象与核的定义及其基与维数的求法 3、线性变换的运算 线性变换的加法、数乘与乘法，可逆线性变换及其逆变换 4、线性变换和矩阵 线性变换的矩阵 向量的象的坐标公式 线性变换与矩阵的同构对应 5、矩阵的相似 矩阵相似的定义 同一线性变换关于不同基的矩阵之间的关系 6、不变子空间 7、特征根、特征向量、特征多项式 特征根、特征向量及特征子空间的定义、求法矩阵的迹和行列式同特征根的关系相似矩阵的特征多项式 8、可对角化的矩阵 属于不同特征根的特征向量的线性无关性 特征子空间的维数与所属特征根的重数关系线性变换和矩阵可对角化的条件 教学要求 了解：线性变换的象与核 理解：线性变换的运算；线性变换的定义及其简单性质；不变子空间 掌握：矩阵的相似；特征根、特征向量、特征多项式；矩阵可对角化的条件、对角化的方法 重点与难点 线性变换与矩阵的同构对应；不变子空间；特征根；特征向量；矩阵的相似；线性变换的象与核；线性变换可对角化的充要条件。 第八章 欧氏空间 教学内容 欧氏空间是实数域上带有一个内积的向量空间，是通常几何空间的推广。本章主要介绍欧氏空间的概念，标准正交基、正交变换和对称变换。 1、欧氏空间的定义及基本性质 2、Cauchy—Schwarz不等式、向量的长度、两个向量的夹角 3、正交基、标准正交基和正交化方法 4、向量与子空间的正交、 正交补、 向量到子空间的距离 5、同构的定义和同构的充要条件 6、正交变换与正交矩阵 正交变换与正交矩阵的关系 一个线性变换是正交变换的充要条件 7、对称变换与实对称矩阵 对称变换的定义 对称变换与实对称矩阵的关系 对称矩阵的标准形 教学要求 了解：同构的定义和同构的充要条件 理解：欧氏空间的定义及基本性质；向量与子空间的正交正交补向量到子空间的距离 掌握：正交基标准正交基和正交化方法；正交变换与正交矩阵；对称变换与实对称矩阵 重点与难点 Cauahy-Schwarz不等式；正交基与正交化方法；正交补；正交变换；对称矩阵的标准形。 第九章 二次型 教学内容 二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类，是中学有关内容的深入和提高，也是线性代数的一个主要研究对象。本章主要介绍化二次型为标准形和正定二次型的判别。 1、二次型的矩阵表示 二次型的定义 变量的非退化线性变换 二次型的秩 二次型的等价与对称矩阵的合同 2、标准形 3、复数域和实数域上二次型的标准形 惯性定律 4、正定二次型的定义及充要条件 正定二次型的定义 正定矩阵 二次型正定的充要条件 教学要求 了解：二次型的矩阵表示 理解：二次型的标准形和典范形 掌握：复数域和实数域上二次型的标准形；惯性定律；正定二次型的定义及充要条件 重点与难点 矩阵的合同；求二次型的标准形和典范形；正定二次型的判别。 四、课程特色 本课程是教为主导，学为主体，实现教学相长。采用课堂讲授与课堂讨论相结合、课堂精讲与返讲相结合、习题课与单元自测相结合的教学方法。 五、学时分配 课堂教学学时分配表
考核方式：闭卷考试 七、教材及相关教学网站 推荐教材： 张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社，2007. 参考教材： [1]北京大学数学系前代数小组.高等代数(第四版) [M].北京:高等教育出版社,2013. [2]丘维声.高等代数(上下册)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2015. [3]孟道骥. 高等代数与解析几何(上下册) (第三版)[M].北京:科学出版社，2014. |