山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村

－评析数学进程中的三次危机

数学中过去的错误或者未解决的困难，是为它未来的发展提供了契机。

——E.T.Bell

数学的永远令人神往的美貌之一就是，它的艰难的悖论是以栩栩生辉的方式使之得到美妙的结果。

――P.J.Davis

1.引言

在数学的发展进程中出现过三次危机，每次都是由“悖论”引发的。 “悖论”的英语“Paradox”，二律背反，即无法证明真与伪的命题。按照M.Klin的说法,悖论就是荒谬的理论,人们为了不明显地把矛盾放在桌面上,才引用了这样一个委婉的措词. 由“悖论” 引发的三次数学危机, 它们严重威胁过数学的基础,以至于人们对数学这种最精确、最牢固的学科产生动摇.但是,人们为了消除危机而进行的研究,也极大地推动了数学的发展和繁荣.

第一次数学危机由无理数引发,第二次数学危机由无穷小引发,直到19世纪实数的逻辑基础和极限理论的建立,两次危机一起圆满的谢幕.第三次数学危机由罗素悖论而引发,经过Zemelo, A.Fraenkel,von Neumann等人的工作,已经部分的消除,至今尚未完全解决.由此而引发的20世纪初关于数学基础的大论战,产生了诸多的数学哲学流派: 逻辑主义、直觉主义、形式主义.

2. 希帕苏斯悖论与第一次数学危机

古希腊被公认为哲学和数学精神的发源地. 古希腊学者视数学为哲学之起点,数学的希腊语的意思是“学问的基础”，源于máthema（“科学，知识，学问”）. 古希腊产生了许多哲学学派,对数学贡献比较大的有Ionian学派、Pythagoras学派、Plato学派、Aristotle学派。

毕达哥拉斯(Pythagoras，约前580－500)，和中国的孔子 (Confucius，前551－471)同时代。毕达哥拉斯生于Samos岛，一生游历埃及、巴比伦等地， 最后在Crotone岛创立了毕达哥拉斯学派，一个带有浓厚宗教色彩的学术团体。　　　　　　

毕达哥拉斯学派的哲学信念 “万物皆为数”（指整数）。他们认为世上万物之关系都可以归结为整数之比，任何两个线段都是可以可公度,即可以找到第三条线段（也许很短），使得两个线段都是它的整数倍。整数之比即有理数，两个线段都可以可公度当且仅当它们的比是有理数。这些信念为当时的希腊人普遍接受。

毕达哥拉斯学派对数学的一大贡献是证明了“毕达哥拉斯定理”，中国称为勾股定理。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕苏斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理，若正方形边长是1，则对角线的长。不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕苏斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕苏斯投入大海.

不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决。建立实数的基础难点在无理数，为此，在19世纪产生了各种无理数的理论，他们在本质是类似的，最为流行的是戴德金(Dedekind)分割和康托尔(Cantor)基本序列。

戴德金的无理数理论发表于1872年的《连续性与无理数》（Stetigkeit und irrationale Zahlen）中，但其思想来源却可回溯到1858年。提出用“分割”（或分划）来定义无理数：考虑任何一个把有理数系分成两类的划分，使得第一类中的每个数小于第二类数中的每个数，用A₁和A₂分别表示这两类数，（A₁,A₂）表示这种分割。在某些分割中，或者A₁中有最大数，或者A₂中有最小数，这种分割是由一个有理数确定的；当A₁中无最大数，A₂亦无最小数时，这种分割就不是由有理数确定的，与之对应的就是无理数，从而对应于每个分割存在唯一的有理数或无理数α，记为(A₁/ A₂)。这种方法现在称之为“戴德金分割”。戴德金对这样定义的实数又定义了运算，并建立了加法与乘法的性质。

康托尔的无理数理论发表于1883年《关于无穷线性点集》（über unendliche Punktmannig faltigkeiten）中，他首先定义基本序列：对任何一个给定的正有理数ε>0。有理数无穷序列{a_n}中除去有限项外，彼此之差都小于ε。每一个这样的序列定义一个实数，实数包含有理数与无理数。如果有理数序列在有理数中无极限，就说它的极限是无理数。他实际上证明了实数系的完备性，还蕴含了上方有界子集存在上确界的思想。

2. 贝克莱悖论与第二次数学危机

17世纪由牛顿与莱布尼兹发明的微积分是数学史上的一个里程碑，恩格斯对微积分给予了极高的评价，他说:“在一切理论成就中,未必再有像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利,如果在某个地方看到了纯粹的和唯一的功绩,那正是在这里.” 然而，微积分在理论基础方面先天不足，牛顿与莱布尼兹在发明微积分时，对极限、无穷小等最基本的概念既没有深刻理解也没有严格定义。例如，计算的导数，

1）先将x　取一个不为0的增量Δx .

2）计算函数的增量Δy＝(x + Δx)² - x²＝2xΔx + (Δx²) .

3）Δy后再被Δx除，得到2x + Δx .

4）令Δx = 0，求得导数为2x .

上面的算法明显地存在逻辑上的漏洞,因为无穷小增量Δx一会儿说不是零，一会儿又说是零。因此，英国大主教贝克莱嘲笑这种召之即来、挥之际去的无穷小量是“已死量的幽灵”。无穷小量究竟是否为0？就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个混乱，数学史上称这个关于无穷小的矛盾为“贝克莱悖论”。由此导致了第二次数学危机的产生。

由于没有严格的极限理论，这种病态的微积分还要出问题，例如，人们不知道如何求无限和：

设x＝（１－１）＋（１－１）＋．．．．．．, x等于多少？

首先这个x应该 等于0，这是因为　　

x＝（１－１）＋（１－１）＋．．．．．．＝０；

其次，可以证明x等于１，因为　　

x＝１－（１－１）－（１－１）．．．．．．＝１；　

最后，还可以证明x等于１／２，因为

x＝１－（１－１＋１－１＋．．．．．．）　　

２x＝１　

x＝１／２

所以 ０＝１＝１／２

微积分产生初期，由于还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论)，出现了形形色色的悖论,引发第二次数学危机.18世纪的一些大数学家都对微积分的逻辑基础作过努力，但都没有最后的结果，直到１９世纪初，以柯西、康托尔为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分坚定基础. 柯西将微积分改造成由定义、定理及其证明的严密的逻辑体系，他的《分析教程》标志严密微积分的诞生。但是，柯西并未将他的极限的思想“算术化”，常常采用一些“充分接近”、“要多小就多小”的语言，“”的语言系统由维尔斯特拉斯完成，至今仍广泛在数学分析中使用。

由于实数理论的完整确立也需要极限理论，所以，第一次和第二次数学危机在19世纪同时降下帏幕。

3．罗素悖论与第三次数学危机

随着19世纪末严格的实数理论和极限理论的建立，两次数学危机圆满解决，人们乐观地认为，数学的天下从此太平。光阴易逝，巴黎圣母院敲响20世纪的钟声，这一年的8月6日，国际数学家大会在巴黎召开，法国大数学家庞卡莱高兴的宣称：“数学的严格性，直到今天才可以说完全到达。”

然而，实数理论和极限理论是建立在集合基础之上。1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上，集合已经成为全部数学的基础，如果集合本身没有牢固的基础，数学就像建在沙滩上的大厦，随时可能坍塌。山雨欲来风满楼，就在庞卡莱讲话后3年，英国数学家、哲学家罗素发现了一个关于集合的悖论，史称“罗素悖论”，如此简单明了、无可置疑，令整个数学界目瞪口呆，更加深刻、更加猛烈的第三次数学危机爆发。

罗素悖论是关于集合的，他将集合分成两类：第一类以自己为元素的集合（比如图书馆的集合还是图书馆），即；第二类不以自己为元素（比如人的集合不是“人”），即.问属于第二类吗？如果，由第二类的性质；如果，刚好就有.

实际上，早在1895年，康托尔就发现了一个悖论－“最大基数悖论”，两年后，1897年，又出现了布拉里－福蒂的“最大序数悖论”。这两个悖论并没有对集合论构成威胁，因为它们仅涉及一些技术问题，只要稍加技术上的修改，集合仍不失为数学的基础。但是，罗素悖论却不同，它仅涉及集合中几个最基本的概念：“集合” 、“元素”、“属于”和一个最基本的“概括原则”. 罗素悖论与任何技术性问题无关,它表明集合论本质上包含悖论,建立在它上面的数学一定有矛盾。 数学不再是不容置疑的,天高可问!

悖论出现以后，人们很快地发现，悖论产生的原因之一是集合论的概括原则，而这个原则是集合论的主要思想之一，由于这个原则，才在数学中引入了实无限。这个思想对于数学理论是十分重要的，数学定义中就应用了概括原则的思想：所要求的（规定的）具有相应条件的集合是允许的。原因既然找到，接下来的工作应该从概括原则开始。如何开始，人们想到了公理化，因为几何与代数的公理化曾解决了这些领域中的逻辑问题，似乎公理化也可能澄清集合论中的困难。这项工作最先由德国数学家Ernst Zermelo所承担，经过Fraenkel，von Neumann等人的工作，大体上完成了从朴素的集合论到公理化的集合论的转化。在这个公理化的集合理论，可以满足全部经典数学所需要的集合论，而且，至今还未发现悖论。可以说，第三次数学危机基本上消除，并未完全消除，因为公理化集合论的相容性尚未证明。关于这个未解决的相容性问题，Poincaré评论说：“为了防备狼，羊群已用篱笆圈了起来，但却不知道在圈内有没有狼。”

1919年，罗素为他的悖论发表了一个通俗版，叫做 “理发师的头发谁来剃”。萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发.”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言.因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人.但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理.如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理.由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的.

悖论在古希腊就有, 埃利亚人芝诺(Zeno，约前495年 - 430年)是第一个提悖论的古希腊先哲，他以提出了四个关于运动不可能的悖论而知名。古希腊有一个悖论叫做伊壁孟德的“撒谎者悖论”，罗素悖论在逻辑上和它一脉相承。伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。伊壁孟德是克里特人，伊说：“我是撒谎者.” 他说的话是真的吗？如果他说的话是真， 那么伊壁孟德就不是撒谎者，从而“我是撒谎者”是假. 他说的话是假的吗？如果他确实撒了谎，那么“我是撒谎者”是谎言，因而伊壁孟德不是撒谎者，也必然说了真话。所以，我们不能判断伊壁孟德的话是真还是假。正所谓：“真作假时假亦真,假作真时真亦假。”

4.结束语

亚里士多德在《形而上学》一书开篇就说，科学的诞生有三个条件：惊异、闲暇和自由。回顾三次数学危机给整个数学界带来的惊异和困惑，以至于最伟大的数学家面对博大精深的数学奥秘也感到自己的无知。为了这种摆脱困惑和无知，一代又一代数学家们励精图治，坚忍不拔，不但克服了危机，而且也推动了数学的繁荣与发展，正如布尔巴基所说：“古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮”。数学还可能出现新的悖论，也可能引发新的数学危机，我们相信悖论的产生和克服都应当在人类的心智能力之内，因为非欧几何产生之后，人们更相信数学是精神的产物。三次危机，三次化险为夷，绝处逢生。“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村。”

思考题：

1．写一篇与悖论有关的论文

2．就芝诺四个悖论的某些悖论，谈谈你的理解