第二章 多项式
§2.1一元多项式的定义和运算
1．设
和
是实数域上的多项式．证明：若是
(6) 
，
那么
2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式
和
3．证明：
§2.2 多项式的整除性
1．求
被除所得的商式和余式：
( i ) 
(ii) 
2．证明：
必要且只要
3．令
都是数域F上的多项式，其中
且
证明：
4．实数
满足什么条件时多项式
能够整除多项式
5．设F是一个数域，
证明：
整除
6．考虑有理数域上多项式
这里
和
都是非负整数．证明：
7．证明：
整除
必要且只要
整除
§2.3 多项式的最大公因式
计算以下各组多项式的最大公因式：
( i )
(ii) 
设
证明：若
且
和
不全为零，则
反之，若
则
是与的一个最大公因式．令
与是
的多项式，而
是
中的数，并且
证明：
4． 证明：
（i）
是
和
的最大公因式；
（ii）
此处
等都是的多项式。
5． 设
都是有理数域Q上的多项式。求
使得
6． 设
令是任意正整数，证明：
由此进一步证明，对于任意正整数
，都有
7． 设证明：
8． 证明：对于任意正整数都有
9． 证明：若是与互素，并且与的次数都大于0，那么定理
里的
与
可以如此选取，使得的次数低于的次数，的次数低于的次数，并且这样的与是唯一的。
10． 决定，使
与
的最大公因式是一次的。
11． 证明：如果
那么对于任意正整数
，
12． 设
是数域F上的多项式。与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式
：
且
；
如果∈F[x]且
，那么
证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。
设 都是最高次项系数是1的多项式，令
表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明
13． 设
并且
证明：
14． 设
证明：
互素的充要条件是存在多项式
使得
15． 设
令
比照定理1.4.2，证明：
有最大公因式．[提示：如果
不全为零，取是I中次数最低的一个多项式，则就是的一个最大公因式．]
§2.4 多项式的分解
在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：
分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式
为不可约因式的乘积.证明：
当且仅当
- 求
在
内的典型分解式；
求
在
内的典型分解式
5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意
或者
或者存在一个正整数使得
6．设
是中一个次数大于零的多项式.如果对于任意
只要
就有
或
那么不可约.
§2.5 重因式
证明下列关于多项式的导数的公式：
设
是的导数
的
重因式.证明：
未必是的重因式；
是的重因式的充分且必要条件是
3. 证明有理系数多项式
没有重因式.
4. 
应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？
5. 证明：数域F上的一个次多项式能被它的导数整除的充分且必要条件是
，
这里的是F中的数
§2.6 多项式函数 多项式的根
1．设
,求
.
2．数环R的一个数
说是
的一个重根,如果可以被
整除,但不能被
整除.判断5是不是多项式
的根.如果是的话,是几重根?
3．设
求
[提示:应用综合除法．]
4．将下列多项式表成的多项式.
;
.
5．求一个次数小于4的多项式,使
6．求一个2次多项式,使它在
处与函数
有相同的值.
7．令是两个多项式,并且
可以被
整除.
证明
8．令是一个复数,并且是中一个非零多项式的根,令
证明:在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式
,使得
中每一多项式都可以写成
的形式,这里
.
在中不可约.
如果
,求上述的
[提示:取是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]
9．设
中多项式
且
,是一个大于1的整数.
证明:的根只能是零或单位根.
[提示:如果是的根,那么
都是的根.]
§2.7 复数和实数域上多项式
1．设次多项式
的根是
.求
以
为根的多项式,这里是一个数;
以
(假定都不等于零)为根的多项式.
2．设是一个多项式,用表示把的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:
若是g
,那么
;
若是
是和
的一个最大公因式,并且的最高次项系数是1,那么是一个实系数多项式).
3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.
4．在复数和实数域上,分解
为不可约因式的乘积.
5．证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.
§2.8 有理数域上多项式
1．证明以下多项式在有理数域上不可约:
;
;
.
2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是
是
个不相同的素数而是一个大于1的整数,那么
是一个无理数.
3．设是一个整系数多项式.证明:若是
和
都是奇数,那么不能有整数根.
4．求以下多项式的有理根:
;
;
.
§2.9多元多项式
1．写出一个数域F上三元三次多项式的一般形式.
2．设
是一个
次齐次多项式.是任意数.证明
.
3．设是数域F上一个元齐次多项式,证明:如果
,则
也是元齐次多项式.
4．把多项式
写成两个多项式的乘积.
5．设F是一个数域.
是F上元多项式.如果存在
使得
,那么就说
是的一个因式.或者说整除.
证明,每一多项式都可以被零次多项式和
整除,
.
说是不可约的,如果除了中那两种类型的因式外,没有其它的因式.证明,在
里,多项式
都不可约.
举一反例证明,当
时,类拟于一元多项式的带余除法不成立.
说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零的公共因式.证明
是互素的多项式.能否找到
使得
?
§2.10 对称多项式
1．写出某一数环R上三元三次对称多项式的一般形式.
2．令
是数环
上元多项式环,
是由一切元对称多项式所组成的
的子集.证明:存在到的一个双射.[提示：利用对称多项式的基本定理，建立到S的一个双射]
3．把下列元对称多项式表成初等对称多项式的多项式：
；
；
．
4．证明：如果一个三次多项式
的一个根的平方等于其余两个根的平方和，那么这个多项式的系数满足以下关系：
5．设
是某一数域Ｆ上多项式
在复数域内的全部根．证明：
的每一个对称多项式都可以表成Ｆ上关于
的多项式．［提示：只需证明的初等对称多项式可以表成Ｆ上关于的多项式即可．］