§4.1  消元法

1．解以下线性方程组：

2．证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。

3．设阶行列式0.

 证明：用行初等变换能把行列矩阵化为。

4．证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把

化为．

§4.2  矩阵的秩  线性方程组可解的判别法

1．对第一和第二种行初等变换证明定理4.2.1．

2．利用初等变换求下列矩阵的秩：

3．证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1．

4．证明：含有个未知量个方程的线性方程组

有解的必要条件是行列式

这个条件不是充分的，试举一反例．

5．

有解？

6．取怎样的数值时，线性方程组

有唯一解，没有解，有无穷多解？

§4.3  线性方程组的公式解

1．考虑线性方程组：

这里．

2．

3．设线性方程组：

（9）     　　　　　  

有解，并且添加一个方程：

于方程组（9）所得的方程组与（9）同解．证明：添加的方程是（9）中个方程的结果．

4．设齐次线性方程组

的系数行列式，而中某一元素的代数余子式．证明：这个方程组的解都可以写成

的形式,此处k是任意数.

5．设行列式

令是元素的代数余子式.证明:矩阵

的秩．