第五章  矩 阵

§5.1 矩阵的运算

1．计算

；

；

；　　；

．

2．证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A．

3．可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：

(i) 设B=()是一个np矩阵．令=是B的第j列，j=1,2,…,p．又设是任意一个p1矩阵．证明：B=．

(ii)设A是一个mn矩阵．利用(i)及习题2的结果，证明：

A(B)=(AB)．

(iii)设C是一个pxq矩阵．利用(ii)，证明：

A(BC)=(AB)C．

4．设

A=

证明：当且仅当

B=

时，AB=BA。

5．令是第i 行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵．求．

6．求满足以下条件的所有n阶矩阵A

(i) i,j=1,2,…,n,

(ii)AB=BA

这里B是任意n阶矩阵。

7．举例证明，当AB=AC时，未必B=C．

8．证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BA≠I．[提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和]

9．令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明：

()()=

10.对任意n阶矩阵A，必有n阶矩阵B和C，使A=B+C，并且

§5.2 可逆矩阵　矩阵乘积的行列式

1．设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？

2．证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵．

3．求下列矩阵的逆矩阵：

4．设 A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m使得

(i) 证明可逆，并且

(ii)求矩阵

的逆矩阵。

5．设

证明，总可以表成和型初等矩阵的乘积．

6．令是n阶矩阵的伴随矩阵，证明

(区别detA≠0和detA=0两种情形)

7．设A和B都是n阶矩阵．证明，若AB可逆,则A和B都可逆．

8．设A和B都是n阶矩阵．证明，若AB=I,则A和B互为逆矩阵．

9．证明，一个n阶矩阵A的秩≤1必要且只要A可以表为一个n1矩阵和一个1n矩阵的乘积．

10.证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和．

11．设A是一个nn矩阵，都是n1矩阵．用记号表示以代替A的第i列后所得到的矩阵．

(i)线形方程组可以改写成I是n阶单位矩阵．

(ii)当detA≠0时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则．

§5.3  矩阵的分块

1．求矩阵

的逆矩阵．

2．设A，B都是n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，证明

3．设

都是n=r+s阶矩阵，而

是一个n阶矩阵，并且与S,T有相同的分法．求SA,AS,TA和AT.有此能得出什么规律？

4．证明，2n阶矩阵

总可以写成几个形如

的矩阵的乘积．

5．设

是一个对角线分块矩阵．证明:

6．证明，n阶矩阵

的行列式等于(detA)(detB)

7．设A,B,C,D都是n阶矩阵，其中detA≠0并且AC=CA，证明