第六章 向量空间
§6.1 定义和例子
1．令F是一个数域，在F3里计算
（i）
（2，0，-1）+（-1，-1，2）+
（0，1，-1）；
（ii）5（0，1，-1）-3（1，，2）+（1，-3，1）．
2．证明：如果
a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），
那么a = b = c = 0．
3．找出不全为零的三个有理数a，b，c（即a，b，c中至少有一个不是0），使得
a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0）．
4．令
1 = （1，0，0），2 = （0，1，0），3 =（0，0，1）．证明，R3中每一个向量
可以唯一地表示为
= a11 + a22 + a33
形式，这里a1，a2，a3 
R．
5．证明，在数域F上向量空间V里，以下算律成立：
（i）a (
) = a- a
；
(ii) (a- b) = a- b, 这里a，b F ，,V．
6．证明：数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量．
7．证明，对于任意正整数n 和任意向量，都有
n=+…+．
8．证明，向量空间定义中条件3º，8）不能由其余条件推出．
9．验证本节最后的等式：
（1，…，n）(AB) =（（1，…，n）A）B．
§6.2 子空间
1．判断R n中下列子集哪些是子空间：
{（a1，0，…，0，an）| a1，an
R}；{（a1 ，a2 ，…，an ）|
ai =0}；{（a1 ，a2 ，…，an ）|
ai =1}；{（a1 ，a2 ，…，an ）| ai
Z，i = 1，…，n}.
2．Mn (F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间（参看6.1，例2）令
S={ AMn (F) |A′= A}，
T={ AMn (F) |A′= –A}．
证明，S和T都是 Mn (F)的子空间，并且
Mn(F) = S + T，S 
T={0}．
3．设W1，W2是向量空间V的子空间，证明：如果V的一个子空间既包含W1又包含W2，那么它一定包W1 +W2．在这个意义下，W1+W2是V的既含W1又含W2的最小子空间．
4．设V是一个向量空间，且V
{0}．证明：V不可能表成它的两个真子空间的并集．
5．设W，W1，W2都是向量空间V的子空间，其中W1
W2且WW1=WW2，
W + W1=W + W2.证明：W1=W2．
6．设W1，W 2是数域F上向量空间V的两个子空间，,是V的两个向量，其中W2，但
W1，又W2，证明：
对于任意k
F,+kW2；至多有一个k
F，使得+kW1 ．
7．设W1，W2，…，Wr 是向量空间V的子空间，且Wi V，i=1，…，r.
证明：存在一个向量
V，使得Wi， i=1，…，r．
[提示：对r作数学归纳法并且利用第6题的结果．]
§6.3 向量的线性相关性
1.下列向量组是否线性相关:
(i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；
(ii) （2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）；
(iii) （2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）．
2．证明，在一个向量组{
}里，如果有两个向量
与
成比例，即=k，
，那么{}线性相关．
3．令
。证明
线性相关必要且只要行列式
= 0．
4．设
，线性无关．对每一个任意添上p个数，得到
的m个向量
．
证明{1，2 ，…，m}也线性无关
5．设
线性无关，证明
也线性无关．
6．设向量组{} (
线性无关，任取
．证明，向量组
线性无关．
7．下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例：
(i) 如果当
，那么线性无关．
(ii) 如果线性无关，而
不能由线性表示，那么
，也线性无关．
(iii) 如果线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合．
(iv) 如果线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合．
8．设向量可以由表示，但不能由
线性表示．证明，向量组{
}与向量组{，}等价．
9．设向量组中
并且每一都不能表成它的前
个向量
的线性组合．证明线性无关．
10．设向量线性无关，而，，
线性相关，证明，或者与中至少有一个可以由线性表示，或者向量组{，}与{，}等价．
§6.4 基和维数
1．令Fn [x]表示数域F上一切次数
n的多项式连同零多项式所组成的向量空间．这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是F3[x]的基：
(i){x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2}；
(ii){x-1，1-x2，x2+2x-2，x3}.
2．求下列子空间的维数：
（i）L ( (2，-3，1)，（1，4，2），（5，-2，4）)R3
(ii)L(x-1，1-x2，x2-x)F[x]；
(iii)L(ex，e2x，e3x)C [a，b].
3．把向量组{（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）}扩充为R4的一个基．
4．令S是数域F上一切满足条件A’=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数．
5．证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是2．如果C看成它本身上的向量空间的话，维数是几？
6．证明定理6.4.2的逆定理：如果向量空间V的每一个向量都可以唯一地表成V中向量
的线性组合，那么dimV = n.
7．设W是R n 的一个非零子空间，而对于W的每一个向量（a1，a2，…，an）来说，要么a1 = a2= … = an = 0，要么每一个ai都不等于零，证明dimW = 1．
8．设W是n维向量空间V的一个子空间，且0< dimW < n．证明：W在V中有不只一个余子空间．
9．证明本书最后的论断．
§6.5 坐标
1．设{1 ，2，…，n}是V的一个基．求由这个基到{2 ，…，n，1}的过渡矩阵．
2．证明，{x3，x3+x，x2+1，x+1}是F3 [x]（数域F上一切次数3的多项式及零）的一个基．求下列多项式关于这个基的坐标：
（i）x2+2x+3；（ii）x3； （iii）4；（iv）x2-x．
3．设1 =(2，1，-1，1)，2=（0，3，1，0），3=（5，3，2，1）4=（6，6，1，3）．证明{1 ，2，3，4 } 作成R4的一个基．在R4中求一个非零向量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同．
4．设
1 =(1，2，-1)，2=（0，-1，3），3=（1，-1，0）；
1=（2，1，5），2=（-2，3，1），3=（1，3，2）．
证明{1 ，2，3 }和{1，2 ，3}都是R3的基．求前者到后者的过渡矩阵．
5．设{1 ，2，…，n}是F上n维向量空间V的一个基．A是F上一个n
s矩阵．令
(1，2 ，…，s)=(1 ，2，…，n)A．
证明
dimL(1，2 ，…，s)=秩A．
§6.6 向量空间的同构
1．证明,复数域C作为实数域R上向量空间,与V2同构．
2．设
是向量空间V到W的一个同构映射,V1是V的一个子空间.证明
是W的一个子空间．
3．证明:向量空间
可以与它的一个真子空间同构．
§6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
1．证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关．
2．证明，秩（A+B）秩A+秩B．
3．设A是一个m行的矩阵，秩A=r，从A中任取出s行，作一个s行的矩阵B．证明，秩B
r+s – m．
4．设A是一个mn矩阵，秩A=r．从A中任意划去m–s行与n–t列，其余元素按原来位置排成一个st矩阵C，证明，秩Cr+s+t–m–n．
5．求齐次线性方程组
x1 + x2 + x3 + x4 + x5=0，
3x1 +2x2 + x3 +x4 –3x5=0，
5x1 + 4 x2 + 3x3 +3x4–x5=0，
x2 + 2x3 + 2x4+ x5=0
的一个基础解系．
6．证明定理6.7.3的逆命题：Fn的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线生方程组的解空间．
7．证明，Fn的任意一个≠Fn的子空间都是若干n–1维子空间的交．