第八章 欧氏空间和酉空间
§8.1向量的内积
1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量
,以下等式成立:
(1)
；
(2)
在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?
2．在区氏空间
里,求向量
与每一向量
,
的夹角.
3．在欧氏空间
里找出两个单位向量,使它们同时与向量
中每一个正交.
4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．
5．设是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:
(勾股定理)
6．设
都是一个欧氏空间的向量,且
是
的线性组合.证明,如果与
正交,,那么
.
7．设是欧氏空间的
个向量.行列式
叫做的格拉姆(Gram)行列式.证明
=0,必要且只要线性相关.
8．设
是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:
和
都是
的整数.
证明:的夹角只可能是
.
9.证明:对于任意实数
,
).
§8.2 正交基
1．已知
,
,
是的一个基.对这个基施行正交化方法,求出的一个规范正交基．
2．在欧氏空间
里,对于线性无关的向量级{1,
,
,
}施行正交化方法,求出一个规范正交组．
3．令
是欧氏空间V的一组线性无关的向量,
是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即
4．令
是维欧氏空间V的一个规范正交基,又令
K叫做一个-方体.如果每一
都等于0或1,
就叫做K的一个项点.K的顶点间一切可能的距离是多少?
5．设
是欧氏空间V的一个规范正交组.证明,对于任意
,以下等式成立:
.
6．设V是一个维欧氏空间.证明
如果W是V的一个子空间,那么
.
如果
都是V的子空间,且
,那么
如果都是V的子空间,那么
7．证明,
中向量
到平面
的最短距离等于
．
8．证明,实系数线性方程组
有解的充分且必要条件是向量
与齐次线性方程组
的解空间正交.
9．令
是维欧氏空间V的一个非零向量．令
．
称为垂直于的超平面,它是V的一个
维子空间.V中有两个向量,
说是位于的同侧,如果
同时为正或同时为负.证明,V中一组位于超平面同侧,且两两夹角都
的非零向量一定线性无关．
[提示:设
是满足题设条件的一组向量.则
,并且不妨设
.如果
,那么适当编号,可设
,
,令
,证明
.由此推出
.]
10．设U是一个正交矩阵.证明:
U的行列式等于1或-1;
U的特征根的模等于1;
如果
是U的一个特征根,那么
也是U的一个特征根;
U的伴随矩阵
也是正交矩阵.
11.设
,且
.
证明,
可逆,并且
12.证明:如果一个上三角形矩阵
是正交矩阵,那么A一定是对角形矩阵,且主对角线上元素
是1或-1.
§8.3正交变换
1．证明:维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.
2．设
是维欧氏空间V的一个正交变换.证明:如果V的一个子空间W在之下不变,那么W的正交补
也在下不变.
3．设V是一个欧氏空间,
是一个非零向量.对于
,规定
.
证明,
是V的一个正交变换,且
,
是单位变换.
线性变换叫做由向量所决定的一个镜面反射.当V是一个维欧氏空间时,证明,存在V的一个标准正交基,使得关于这个基的矩阵有形状:
在三维欧氏空间里说明线性变换的几何意义.
4．设是欧氏空间V到自身的一个映射,对有
证明是V的一个线性变换,因而是一个正交变换.
5．设U是一个三阶正交矩阵,且
.证明:
U有一个特征根等于1;
U的特征多项式有形状
这里
.
6．设和
是维欧氏空间V的两个规范正交基.
证明:存在V的一个正交变换,使
.
如果V的一个正交变换使得
,那么
所生成的子空间与由
所生成的子空间重合.
7．令V是一个维欧氏空间.证明:
对V中任意两不同单位向量,存在一个镜面反射,使得
.
V中每一正交变换都可以表成若干个镜面反射的乘积.
[提示:为了证明,利用和习题6.]
8．证明:每一个阶非奇异实矩阵A都可以唯一地表示成
的形式,这里
是一个正交矩阵,
是一个上三角形实矩阵,且主对角线上元素都是正数.
[提示:非奇异矩阵A的列向量
作成维列空间的一个基.对这个基施行正交化,得出的一个规范正交基
,以这个规范正交基为列的矩阵U是一个正交矩阵,写出由的表示式,就可以得出矩阵T.证明唯一性时,注意8.2习题12.]
§8.4 对称变换和对称矩阵
1．设是维欧氏空间V的一个线性变换.证明,如果满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:是正交变换;是对称变换;
是单位变换.
2．设是维欧氏空间V的一个对称变换,且
.证明,存在V的一个规范正交基,使得关于这个基的矩阵有形状
3．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.
4．维欧氏空间V的一个线性变换说是斜对称的,如果对于任意向量
,
.
证明:
斜对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条件
的矩阵叫做斜对称矩阵)
反之,如果线性变换关于V的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么一定是斜对称线性变换.
斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.
5．令A是一个斜对称实矩阵.证明,
可逆,并且
是一个正交矩阵.
6．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得
是对角形式:
; 