第九章  二次型

§9.1 习题

1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同．

2．对下列每一矩阵A，分别求一可逆矩阵P，使是对角形式：

(i)

(ii)

(iii)

3．写出二次型的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项．

4．令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵，即满足条件．

(i)A必与如下形式的一个矩阵合同：

(ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数．

(iii) F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．

§9.2  复数域和实数域上的二次型

1．设S是复数域上一个n阶对称矩阵．证明，存在复数域上一个矩阵A，使得

．

2．证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：

3．证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同：

4．证明，一个实二次型可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者q的秩等于1，或者q的秩等于2并且符号差等于0．

5．令

证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得．

6．确定实二次型的秩和符号差．

7．确定实二次型的秩和符号差．

8．证明，实二次型的秩和符号差与无关．

§9.3  正定二次型

1．判断下列实二次型是不是正定的:

;

2．取什么值时,实二次型

是正定的.

3．设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数,使得是正定的.

4．证明,阶实对称矩阵是正定的,必要且只要对于任意,阶子式

5．设是一个阶正定实对称矩阵.证明

当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立.

[提示:对作数学归纳法,利用定理9.3.2的证明及习题4.]

6．设是任意阶实矩阵.证明

(阿达马不等式).

[提示:当时,先证明是正定对称矩阵,再利用习题5.]

§9.4　主轴问题

1．对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得具有对角形式:

;

;

2．设A是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵S使得

．

3．设A是一个阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得．

[提示:是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得=.再看一下U应该怎样取．]

4．设是一组两两可交换的阶实对称矩阵.证明,存在一个阶正交矩阵U,使得都是对角形矩阵.

[提示:对作数学归纳法,并且参考7.6,习题9.]