第二章  多项式

1.证明:多项式能整除.的充分与必要条件是为偶数.

2.设为大于1的整数.证明:当且仅当和互素时多项式

与互素.

3.设是一个次数大于零的多项式.证明:是某个不可约多项式方幂的充分与必要条件是,对任意多项式和,由可推出,或有某正整数,使.

4.设为有理系数多项式的一个重根,证明:若为有理数,为正有理数且为无理数,则也是的一个重根.

5.设是整系数多项式,证明:如果是奇数,则在有理数域上不可约.

6．证明：次数>0且首项系数为1的多项式是某一个不可约多项式的方幂的充分要条件是，对任意的多项式,,由可以推出|，或者对某一正整数m，．

7．证明：不能有不为零的重数大于2的根．

8．证明：如果，那么的根只能是零或单位根．

9．如果，证明：有n重根，其中n = .

10．设是n个不同的数，而．证明：

1）= 1；

2）任意多项式用除所得的余式为．

11．与同上题，是任意n个数，显然适合条件,。这称为拉格朗日（Lagrange）插值公式。利用上面的公式求：

1. 一个次数< 4的多项式，它适合条件：

2. 一个二次多项式，它在x = 0，，处与函数有相同的值；

3. 一个次数尽可能低的多项式，使．

12．设是方程的根，证明：的对称多项式可以表成与的多项式．

13．。令（）.

1. 证明：，其中的次数或=0．

2.  由上式证明牛顿（Newton）公式：，对于．

14．根据牛顿公式用初等对称多项式表示.

15．证明：如果对于某一个6次方程有，那么﹒．

16．求一个n次方程使．

17．求一个n次方程使．