第五章  矩阵

1.设A是一个秩为1的阶方阵,证明:

(1) ;         (2)

2.设是两个阶方阵.证明:矩阵方程有解的充要条件是,矩阵有相同的秩,其中

3.试求出满足的一切阶矩阵A.

4.设A为阶非奇异阵,是两个维列向量,则

(1) ;

(2) 可逆当且仅当.

5.设,为实数,求证:

(提示:利用上题(1))

6．设A是一个矩阵，秩，

 证明：

(1)  ；   (2)．

7．设A为矩阵，证明，如果，那么

8．设A是一个矩阵，且。证明：秩.

9．(1) 把矩阵表成形式为(I)的矩阵的乘积：                 (2)为一复数矩阵， ，证明：A可以表成形式为（I）的矩阵的乘积．

10．设A是一个矩阵，证明：A可以表成这一类初等矩阵的乘积．  

11. 矩阵的秩为，则有的列满秩矩阵和的行满秩矩阵，使

12．A为复矩阵，A=PQ如上题，则为A的一个Moore-Penrose广义逆．

13．证明A的Moore-Penrose广义逆是唯一的．