第七章  线性变换

1.设是向量空间V的两个线性变换.如果存在可逆线性变换,使,称相似.

证明:相似的充分必要条件是,存在可逆线性变换,对V中任意向量,由可得.

2.设,且有,.又设V为F上维向量空间,为V的一个线性变换,求证:.

3.设阶方阵A的个特征值两两互异,证明:若,则与一个对角矩阵相似.且B是A的多项式.

4．设，是线性变换，=，=.

 证明：

(1) 如果，那么；

(2) 如果，那么．

5．设V是数域P上n维向量空间，证明：由V的全体线性变换组成的向量空间是维的。

6．设是数域P上n维向量空间V的一个线性变换，证明：1）在中有一次数的多项式，使；  2）如果那么，这里是与的最大公因式；  3）可逆的充分必要条件是，有一常数项不为零的多项式使．

7．设是向量空间V上的线性变换，证明：不过可逆的充分必要条件是以零作为一个特征值．

8．是向量空间V的个两两不同的线性变换，那么在V中必存在向量使也两两不同．

9．设是有限维向量空间V上的线性变换，W是V的子空间，W表示由W中向量的象组成的子空间。证明：维(W)+维()= 维(W)．

10．设=，=，

 证明：

(1) 与有相同值域的充分必要条件是；

(2) 与有相同核的充分必要条件是．