第八间  欧氏空间

1.设A,B是两个实对称矩阵.证明:存在正交矩阵Q,使

的充分与必要条件是,A与B的特征多项式的根完全相同.

2.证明:上三角正交矩阵A必为对角矩阵,且对角线上元素为+1或-1.如果A的元素都是正数,则.

3.设为欧氏空间V的两个对称变换.证明:

也是V的对称变换.

4.设与为欧氏空间V的两组向量.证明:如果

,,

则子空间

同构.

5．证明:奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值.

6．设是欧氏空间V的一个变换.证明:如果保持内积不变,即对于,那么它一定是线性的,因而它是正交变换.

7．设A是阶实对称矩阵,且,证明:存在正交矩阵T使得

8．设是两个实对称矩阵,且B是正定矩阵.证明存在一实可逆矩阵T使

同时为对角形.