第六章 向量空间
自测题
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
1．设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r < n，则方程组（ ）．
A．有r个解向量线性无关． B．的基础解系由r个解向量组成
C．心有非零解． D．的任意r个线性无关的解向量是它的基础解系．
2．设x1，x2，x3，x4是AX = b 的解，则下列向量（ ）仍是AX = b的解．
A．
B．
C．
D．
3．已知
是AX = 0 的基础解系，则（ ）
A．线性相关 B．线性无关
C．
线性相关． D．不构成基础解系．
4．
是AX = 0的基础解系．则r(A) = ( ).(A为
矩阵)
A．s B．
C．
D．
5．R3中下列子集（ ）不是R3的子空间．
A．
B．
C．
D．
6．向量组
1 ，2，…，
线性无关的充要条件是（ ）
A．
B．
C．它有一个部分向量组线性无关 D．它的所有部分向量组线性无关
7．设矩阵A为n阶方阵且| A | = 0，则（ ）
A．A中必有两行或两列的元素对应成比例．
B．A中至少有一行或一列的元素全为零；
C．A中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的线性组合；
D．A中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的线性组合．
8．设有向量组
和
，线性相关，也线性相关，且组可由组线性表示，则（ ）成立其中：1 ，2，…，，：
A．
B．
C．
秩D．秩
秩
9．向量组
，
，
，
的秩为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．m>n是n维向量组1 ，2，…，
线性相关的（ ）条件
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．必要而不充分
二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由，每小题5分，共20分）
1．设1，2是
的基础解系，则
也是它的基础解系．
2．若
是
的解，则它的任意线性组合也是的解．
3．
的维数等于2．
4．F上向量空间V若含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量．
三、简答题（每小题5分，共10分）
1．设
是的解其中A为5
4矩阵，
。若
，
试写出该方程组的全部解．
2．已知
可由1 ，2，…，
线性表出，那么，在什么情况下，表示法唯一？
四、计算题（每小题8分，共32分）
1．试将用向量组
，
，
，
线性表出，其中=
，=
，=
， =
，
．
2．已知
,
是
的两个子空间，求
的一个基和维数．
3．已知关于基
的坐标为（1，0，2），由基
到基的过渡矩阵为
，求关于基的坐标．
4．求非齐次线性方程组
的全部解．
五、证明题（每小题9分，共18分）
1 .设A是任一矩阵，将A任意分块成
，证明：n元齐次线性方程组的解空间V是齐线性方程组
的解空间
的交，
2. 设向量组1 ，2，…，线性无关，向量
可由它线性表示，而向量
不能由它线性表示．证明：m+1个向量1 ，2，…， ，
+必线性无关．