第七章 线性变换

自测题

一、填空题（每小题3分，共18分）

1．是上的线性变换，若，则．

2．：，；：，，则 ．．．

3．设，则向量是A的属于特征值 的特征向量．

4．若与相似，则=．

5．设三阶方阵A的特征多项式为，则．

6．阶方阵A满足，则的特征值为．

二、判断说明题（每小题5分，共20分）

1．阶方阵A至少有一特征值为零的充分必要条件是．

2．已知，其中为阶可逆矩阵，为一个对角矩阵．则A的特征向量与P有关．

3．为V上线性变换，为V的基，则线性无关．

4．为V上的非零向量，为V上的线性变换，则是V的子空间．

三、计算题（每小题14分，共42分）

1．设与相似．

 （1）求的值；

 （2）求可逆矩阵，使．

2．中，线性变换关于基，，的矩阵为

 （1）求关于标准基的矩阵；

 （2）设,,求关于基的坐标．

3．设是的线性变换,

（1）求的一个基和维数；

（2）求的一个基和维数．

四、证明题（每小题10分，共20分）

1．设A是阶矩阵，且有，，证明：-1是A的特征值．

2．设是V上的两个线性变换，证明：

 （1）的充要条件是；

 （2）的充要条件是．