第八章  欧氏空间

一、填表空题（每小题3分，共15分）

1．欧氏空间中，，则，

2．为欧氏空间V的线性变换，则为正交变换当且仅当；为对称变换当且仅当 ．

3．设，若与正交，则．

4．为阶正交矩阵，且，则．

5．是三维欧氏空间的向量，则式子，，中表示向量的是．

二、判断说明题（先判断正确与错误，再说明理由．每小题5分，共20分）

1．欧氏空间V中保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换必为正交变换．

2．正交向量组必线性无关．

3．实数与对称变换之积必是对称变换．

4．欧氏空间中，为对称为变换．

三、计算题（每小题15分，共45分）

1．求齐次线性方程组

的解空间的一组标准正交基．

2．在中，对任意向量，，定义

 （1）证明：作成欧氏空间．

 （2）写出这个欧氏空间的柯西—施瓦兹不等式．

3．设

求正交矩阵U，使为对角形．

四、证明题（每小题10分，共20分）

1．A为阶实对称矩阵，且．证明：存在正交矩阵U，使

其中为A的正特征值的个数．

2．设为维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分必要条件是，对V中任意向量都有

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