一、大纲说明

课程名称:近世代数

课程名称（英文）：ModernAlgebra

适用专业：数学与应用数学

课程性质： 限选

总学时：64，其中理论课学时: 60， 实验课学时: 4

学分：4

先修课程：高等代数.

二、本课程的地位、性质和任务

 近世代数课程是数学与应用数学专业的一门专业限选课，是一门现代数学课，是数学专业较抽象的一门课程。本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。它的内容包括三个基本的代数结构：群、环、域。它不仅是一门重要的专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。它的基本概念、理论和方法不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、结构化学、计算机等学科。其研究的方法和观点，对其他学科有很大的影响。通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法，加深学生对数学的基本思想和方法的理解，增强学生的抽象思维、逻辑推理能力，培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。近世代数是数学与应用数学专业一门必修的专业基础课，是现代数学的重要基础之一。通过本课的学习，能够使学生掌握群、环、域的基础知识，深刻理解和体会公化这一现代数学的思想方法，同时掌握代数的一些基本方法：集合、运算、运算性质，特殊元素，特殊子对象，商对象，同态同构，为学生的进一步学习提供理论基础和方法保证，加深对中等数学中代数体系的理解。本课程的学习需要一定集合论和高等代数的基础，对数论、组合论、离散数学的学习有一定的帮助。

三、教学内容、教学要求

1. 基本概念

 第一节　集合

1、教学目的和要求

 理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系、集合的相等、集合的运算等。

2、教学要点与知识点

 集合的概念，集合的运算、相等。

3、重点和难点

 集合相等的证明。

 第二节　映射(1课时)

1.  教学目的和要求

 理解映射的概念，掌握如何验证映射相等。

2.  教学要点与知识点

 映射的基本概念。

3.  重点和难点

 重点：映射的基本知识。

 难点：映射相等。

3.  　代数运算

1.  教学目的和要求

 掌握代数运算的概念以及它与映射的关系，掌握有限集合的运算表。

2.  教学要点与知识点

 代数运算的概念，运算表。

3.  重点和难点

 代数运算的概念。

3.  　结合律  

1.  教学目的和要求

 掌握结合律的定义，结合次序。

 第五节　交换律

1.  教学目的和要求

 理解交换律的定义。

 第六节　分配律

1.  教学目的和要求

 理解分配律的定义，左右分配律。

2.  教学要点与知识点

 分配律的定义。

7. 　一一映射、变换

1.  教学目的和要求

 掌握满射、单射、一一映射、变换、单射变换、满射变换及一一变换的的概念以及验证的方法。

2.  教学要点与知识点

 单射，满射，一一映射，变换。

3.  重点和难点

 验证单射、满射。

7.  　同态

1.  教学目的和要求

 掌握同态映射、同态满射的概念，理解同态在研究问题中的意义和作用。

2.  教学要点与知识点

 同态满射。

3.  重点和难点

 同态的概念。

7.  　同构、自同构

1.  教学目的和要求

 掌握同构、自同构的概念，理解同构的意义，能区分同态与同构的差别，理解两个具有同构关系的集合之间的关系，并能判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。

2.  教学要点与知识点

 同构映射。

7.  　等价关系与集合的分类

1.  教学目的和要求

 掌握关系、等价关系、分类、全体代表团、剩余类等概念，理解等价关系与集合分类之间的关系、等价类的意义。

2.  教学要点与知识点

 等价关系，等价类的性质。

3.  重点和难点

 等价类，全体代表团。

第二章　群论

1.  群的定义

1.  教学目的和要求

 了解群的第一、第二定义，并掌握两者之间的等价转换，理解左、右单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念，并会验证一个代数结构是否为群。

2.  教学要点与知识点

 群的定义，群的基本概念。

3.  重点和难点

 群的概念，如何验证一个代数结构是群。

2.  单位元、逆元、消去律  

1.  教学目的和要求

 掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群中元素的阶的概念，会计算群中元素的阶。

2.  教学要点与知识点

 单位元，逆元，元素的阶。

3.  重点和难点

 　　元素的阶。

3.  有限群的另一定义  

1、教学目的和要求

 掌握有限群的定义，并会应用它。

2、教学要点与知识点

 有限群的定义

4.  群的同态

1.  教学目的和要求

 掌握群同态、群同构的概念，掌握和一个群同态的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆元。

2.  教学要点与知识点

 群的同态，群同态的性质。

3.  重点和难点

 　　群同态的性质。

5.  变换群

1.  教学目的和要求

 熟练掌握变换符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只包含一一变换，且单位元一定是恒等变换。了解变换群的定义和性质。掌握任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明并理解。

2.  教学要点与知识点

 变换群，凯莱定理。

3.  重点和难点

 　　凯莱定理。

6.  置换群

1.  教学目的和要求

 理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连）的循环置换的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的之间的关系。

2.  教学要点与知识点

 置换群。

3.  重点和难点

 　　置换的乘法，置换的性质。

7.  循环群

1.  教学目的和要求

 掌握循环群的定义和性质，熟练掌握剩余类加群，并能证明任一循环群可以与整数加群或模为n的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质。

2.  教学要点与知识点

 循环群，生成元，模n的剩余类加群。

3.  重点和难点

 循环群的结构

8.  子群  

1.  教学目的和要求

 了解子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的关系。

2.  教学要点与知识点

 子群的概念，子群判别定理。

3.  重点和难点

 验证子群的方法。

9.  子群的陪集

1.  教学目的和要求

 掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的映射关系，并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶为素数的群一定为循环群的证明。

2.  教学要点与知识点

 子群的陪集，lagrange定理。

3.  重点和难点

Lagrange定理，陪集。

10.  不变子群、商群

1.  教学目的和要求

 了解不变子群的定义，能掌握一个群的子群是不变子群的充分必要条件的定理，理解商群的定义。

2.  教学要点与知识点

 不变子群的概念，验证不变子群的方法。

3.  重点和难点

 验证不变子群的方法，商群。

11.   同态与不变子群

1.  教学目的和要求

 能证明一个群同它的每一个商群同态的定理，了解核的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群的象的性质。并能将子群或不变子群的性质运用到循环群、变换群等中。

2.  教学要点与知识点

 同态基本定理，群同态的性质。

3.  重点和难点

 同态基本定理的理解，同态的两个群的子群和不变子群之间的关系。

3. 　环和域

1.  加群、环的定义

1.  教学目的和要求

 掌握加群的定义，熟悉环的定义、环中的运算规则。

2.  教学要点与知识点

 加群的定义，环的定义，环中的运算。

3.  重点和难点

 加群、环上的运算。

2.  交换律、单位元、零因子、整环

1.  教学目的和要求

 理解交换环的定义，熟悉单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用，掌握消去律与零因子之间的关系。

2.  教学要点与知识点

 单位元，逆元，零因子，剩余类环。

3.  重点和难点

 　　环有无零因子的判断，剩余类环。

3.  除环、域  

1.  教学目的和要求

 掌握除环、域的定义，理解环、交换环、有单位元环、无零因子环、整环、除环、域的之间的关系，掌握四元数除环。

2.  教学要点与知识点

 环的类型。

3.  重点和难点

 域、四元数除环。

4.  无零因子环的特征

1.  教学目的和要求

 熟悉无零因子环中的计算规则，掌握无零因子环的特征的性质、。

2.  教学要点与知识点

 特征，有限域。

3.  重点和难点

 　　无零因子环的特征的性质。

5.  子环、环的同态

1.  教学目的和要求

 理解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念，熟悉除环的子集作成子除环的条件，了解同态、同构环之间的性质，并对环、除环的中心有一定的了解。

2.  教学要点与知识点

 子环，环的同态，挖补定理。

3.  重点和难点

 　　环的同态，挖补定理。

6.  多项式环

1.  教学目的和要求

 掌握多项式环的定义，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的概念，理解含么交换环必有未定元存在。

2.  教学要点与知识点

 多项式环的基本概念，环上的未定元。

3.  重点和难点

 　　含么交换环上必有未定元的证明。

7.  理想

1.  教学目的和要求

 理解理想的概念，以及零理想、单位理想和主理想的构成，能判断一个环是否是理想子环，和理想子环是否为主理想子环。

2.  教学要点与知识点

 理想，生成理想。

3、重点和难点

 理想、主理想的验证。

8.  剩余类环、同态与理想

1.  教学目的和要求

 理解一个环的所有模的剩余类作成的集合也是环，且原来的环与它同态。了解在环的同态映射下的两个环之间的关系、性质，掌握环的同态基本定理。

2.  教学要点与知识点

 剩余类环，环的同态基本定理。

3.  重点和难点

 对剩余类环、环同态基本定理的理解。

9.  最大理想

1.  教学目的和要求

 理解什么是最大理想，由最大理想怎么构造域。

2.  教学要点与知识点

 最大理想，最大理想的作用。

3.  重点和难点

 验证一个理想是否为最大理想。

10.  商域

1.  教学目的和要求

 掌握商域的概念和构造、没有零因子的交换环一定是一个域的子环，并掌握同构的环的商域也同构。

2.  教学要点与知识点

 商域的概念，如何得到商域。

3.  重点和难点

 商域构造的理解。

3. 整环里的因子分解

1.  素元、唯一分解

1.  教学目的和要求

 掌握整除、单位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整环中不等于零的元有真因子的充分而且必要的条件，掌握唯一分解的定义，了解整环中的元是否都有唯一分解。

2.  教学要点与知识点

 素元，因子，唯一分解。

3.  重点和难点

 唯一分解概念的理解。

2.  唯一分解环

1.  教学目的和要求

 知道唯一分解环的定义和性质，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。理解判别唯一分解环的方法。

2.  教学要点与知识点

 唯一分解环的概念和性质，唯一分解环的判别方法。

3.  重点和难点

 　　唯一分解环的判别。

3.  主理想环

1.  教学目的和要求

 理解主理想环的概念和引理，能证明主理想环是唯一分解环。

2.  教学要点与知识点

 主理想环的性质结论。

3.  重点和难点

 理想升链，主理想环是唯一分解环的证明。

4.  欧氏环

1.  教学目的和要求

 了解欧氏环的定义，理解欧氏环是主理想环、唯一分解环的证明，并能证明域一定是一个欧氏环。

2.  教学要点与知识点

 欧氏环的定义，欧氏算法，主理想环、欧氏环、唯一分解环之间的关系。

3.  重点和难点

 　　欧氏算法的理解，欧氏环的验证。

5.  多项式环的因子分解

1.  教学目的和要求

 知道本原多项式的定义，理解本原多项式的性质，和本原多项式的唯一分解性，并对唯一分解环有进一步的认识。

2.  教学要点与知识点

 本原多项式，本原多项式的性质，系数为唯一分解环的多项式环为唯一分解环。

3.  重点和难点

 有关本原多项式的结论，系数为唯一分解环的多项式环为唯一分解环。

6.  因子分解与多项式的根

1.  教学目的和要求

 了解多项式的根和性质，掌握重根和导数的定理和推论。

2.  教学要点与知识点

 多项式的根、重根及判别法。

四、课程特色

 该课程在教材、教学方法和教学手段等方面都具有非常鲜明的特色。其一，针对学院的特点，本课程以讲授为主，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多加思考；注重对教材内容中各个知识点的理解。其二，根据教学实践的需要和学院学生的实际情况，运用现代化教学手段，制作了大批用于配合教学的多媒体课件和网络教学课件，建立起近世代数课程网站。其三，注重对教学内容、教学方法与教学手段的改革，认真总结教学经验，不断提高教师自身的教学水平和理论知识。其四，突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；注重对学生证明技巧、证明思路的训练；增加以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；让学生多加练习、多加思考，提出问题，体现了学院培养创新性应用型人才的特点。其五，课程师资队伍建设成效显著，作为数学类必修课的精品课程《近世代数》，从课程建设的一开始，我们就注重教师队伍的建设，注重人员素质的综合提高，使教师队伍在年龄、知识、学历与职称等方面结构合理。本课程非常注重对青年教师的培养。线性代数目前的教学力量很强，除有主讲教授、副教授数

 外，也有数名刚从学校毕业不久的青年教师。为了提高课程教学的整体水平，他们还做了大量传、帮、带工作。除组织青年教师听老教师讲课以外，每年还要举行多次的交流探讨活动，组织他们参与教材、课件的编写制作，使他们尽快提高水平，学会低起点、有坡度、有水平的教学方法，努力提高教学效果。

五、学时分配

六、教材及相关教学网站

推荐教材：张禾瑞.近世代数基础.北京:高教出版社,2000.

参考文献：

[1]刘绍学.近世代数基础.北京:高教出版社,2001.

[2]吴品三.抽象代数.北京:高教出版社,1984.

[3]杨子胥.近世代数.北京:高教出版社,2001.

[4]韩士安,林磊.近世代数.北京:科学出版社,2008.

[5]樊辉,刘宏伟.抽象代数.北京:科学出版社,2008.

[6]聂灵沼,丁石孙.代数学引论.北京:高等教育出版社,1988.

[7]T .W .Hungerford . Algebra.  Berlin: Springer_verlag,1 974.

[8]Nathan Jacobson.Basic Algebra (I) .New York ：W. H. Freeman and  Company ,1985.

[9]Joseph. J. Rotman. 抽象代数基础教程(英文版)，第2版.北京:机械工业出版社,2004.

[10]Joseph. A. Gallian．Contemporary abstract algebra．Boston:New York Houghton Mifflin

Company ,1998．

[11]中国大百科全书 • 数学．北京:中国大百科全书科学出版社，1988 .

[12]C. A.Boyre. A history of Mathematics. New York:Wiley,1968.
.相关教学网站: http://math.hzu.edu.cn/trans.aspx?id=632

七、本课程的教学方式及执行大纲时应注意的问题

1.  本课程的特点是理论性强，思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。

2.  注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导参考）的有机联系, 特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。

3.  教学中有计划有目的地向学生介绍学习数学与学习专业课之间的关系，学习近世代数是获取进一步学习机会的关键学科。

4.  由于学科特点，本课程教学应突出教师的中心地位，通过教师的努力，充分调动学生的学习兴趣。

5.  本大纲是根据国家教委高教司颁布的本科基础课教学基本要求，结合我院教学计划制定的。本大纲对课程内容划定了“了解”、“理解”、“掌握”、“熟练掌握”等四方面内容，执行时应注意。在教学过程中，教师应根据学生的情况，按大纲要求，在每部分都要在复习指导书中为学生指明不同档次的课外自学内容。

                                         所属系: 数学与大数据学院数学系

2017年5月